Prove that (2vec a+vec b)×(vec a+2vec b)=3 vec a×vec b

Prove that $(2\vec a+\vec b)\times(\vec a+2\vec b)=3\,\vec a\times\vec b$.

Explanation of Method

Proving that (2a+b)×(a+2b) equals 3 a×b.

Step 1: Expansion

\[ (2\vec a+\vec b)\times(\vec a+2\vec b)=2\,\vec a\times\vec a+4\,\vec a\times\vec b+\vec b\times\vec a+2\,\vec b\times\vec b. \]

Step 2: Simplification

With $\vec a\times\vec a=\vec b\times\vec b=\vec 0$ and $\vec b\times\vec a=-\vec a\times\vec b$: $=4\,\vec a\times\vec b-\vec a\times\vec b=3\,\vec a\times\vec b.\qquad\blacksquare$.

\[(2\vec a+\vec b)\times(\vec a+2\vec b)=3\,\vec a\times\vec b\]

General rule. $(\alpha\vec a+\beta\vec b)\times(\gamma\vec a+\delta\vec b)=(\alpha\delta-\beta\gamma)\,\vec a\times\vec b$. Here $2\cdot2-1\cdot1=3$.

$O$ $\vec a$ $\vec b$ $2\vec a+\vec b$ $\vec a+2\vec b$

On the lattice of $\vec a,\vec b$ the orange parallelogram has exactly $3$ times the area of the blue one; the orientation is the same ($+3$).

Result

\[\boxed{\,(2\vec a+\vec b)\times(\vec a+2\vec b)=3\,\vec a\times\vec b\,}\]