Simplify: 1^° (vec a+vec b+vec c)×vec c+(vec a+vec b+vec…

Simplify: $1^\circ\ \ (\vec a+\vec b+\vec c)\times\vec c+(\vec a+\vec b+\vec c)\times\vec b+(\vec b-\vec c)\times\vec a$. $2^\circ\ \ (\vec i\times\vec j)\times\big[\vec k+(\vec j\times\vec i)\big]+\alpha(\vec k\times\vec i)\times\vec j$.

Step 1: $1^\circ$ First two terms

Factor out the common left factor, then use $\vec u\times\vec u=\vec 0$ and $\vec c\times\vec b=-\vec b\times\vec c$: \[(\vec a+\vec b+\vec c)\times(\vec b+\vec c)=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c+\underbrace{\vec b\times\vec b}_{\vec 0}+\vec b\times\vec c+\vec c\times\vec b+\underbrace{\vec c\times\vec c}_{\vec 0}=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c.\]

Step 2: $1^\circ$ Third term and sum

\[ (\vec b-\vec c)\times\vec a=\vec b\times\vec a-\vec c\times\vec a=-\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c. \]

\[ (\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c)+(-\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c)=2\,\vec a\times\vec c. \]

\[1^\circ:\ \ 2\,(\vec a\times\vec c)\]

Step 3: $2^\circ$

\[ \vec k+(\vec j\times\vec i)=\vec k-\vec k=\vec 0\ \Longrightarrow\ (\vec i\times\vec j)\times\vec 0=\vec 0, \]

\[ \alpha(\vec k\times\vec i)\times\vec j=\alpha\,\vec j\times\vec j=\vec 0. \]

\[2^\circ:\ \ \vec 0\quad(\text{for every }\alpha)\]