Prove that the vector vec h , which coincides with the…
Prove that the vector $\vec h$, which coincides with the height of the parallelogram constructed on the vectors $\vec a$ and $\vec b$ and is normal to $\vec a$, equals $\vec h=\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\,\frac{\vec a_0}{|\vec a|},\qquad \vec a_0=\frac{\vec a}{|\vec a|}$.
Explanation of Method
The height vector of a parallelogram is normal to its base.
Step 1: Decomposition of $\vec b$
Assume $\vec a\neq\vec 0$. Every vector $\vec b$ splits uniquely into a part parallel to $\vec a$ and a part perpendicular to $\vec a$: $\vec b=\vec b_\parallel+\vec b_\perp$.
The parallel part is the projection $\mathrm{Pr}_{\vec a}\vec b$ times the unit vector $\vec a_0$: \[\vec b_\parallel=\mathrm{Pr}_{\vec a}\vec b\;\vec a_0=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|}\,\frac{\vec a}{|\vec a|}=(\vec a\cdot\vec b)\,\frac{\vec a_0}{|\vec a|},\]
\[ \vec b_\perp=\vec b-\vec b_\parallel=\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\,\frac{\vec a_0}{|\vec a|}. \]
Step 2: Geometric identification
Let $\vec a=\overrightarrow{OA}$, $\vec b=\overrightarrow{OB}$ and let $F$ be the foot of the perpendicular from $B$ to the line $OA$. Then $\overrightarrow{OF}=\vec b_\parallel$, and the height of the parallelogram is
\[ \vec h=\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OF}=\vec b-\vec b_\parallel=\vec b_\perp. \]
- $\vec b_\parallel=(\vec a\cdot\vec b)\,\dfrac{\vec a_0}{|\vec a|}$
- $\vec h=\vec b-\vec b_\parallel,\ |\vec h|=|\vec b|\sin\theta$
Step 3: Check: $\vec h\perp\vec a$
Since $\vec a_0\cdot\vec a=\dfrac{\vec a\cdot\vec a}{|\vec a|}=|\vec a|$, \[\vec h\cdot\vec a=\vec b\cdot\vec a-(\vec a\cdot\vec b)\,\frac{\vec a_0\cdot\vec a}{|\vec a|}=\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec b=0.\ \checkmark\]
Also $\vec b_\parallel+\vec h=\vec b$ by construction, so $\vec h$ really is the height from $B$.
Step 4: Equivalent forms
\[ \vec h=\vec b-\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|^2}\,\vec a=\vec b-p\,\vec a_0,\qquad p=\mathrm{Pr}_{\vec a}\vec b=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|}. \]
Step 5: Length of the height and area
\[ |\vec h|^2=|\vec b|^2-2\frac{(\vec a\cdot\vec b)^2}{|\vec a|^2}+\frac{(\vec a\cdot\vec b)^2}{|\vec a|^4}|\vec a|^2=|\vec b|^2-\frac{(\vec a\cdot\vec b)^2}{|\vec a|^2}. \]
With $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$: \[|\vec h|^2=|\vec b|^2(1-\cos^2\theta)=|\vec b|^2\sin^2\theta,\qquad |\vec h|=|\vec b|\sin\theta,\]
\[ S=|\vec a|\,|\vec h|=|\vec a||\vec b|\sin\theta. \]
\[\vec h=\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\frac{\vec a_0}{|\vec a|}=\vec b-\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|^2}\vec a,\quad \vec h\cdot\vec a=0,\quad |\vec h|=|\vec b|\sin\theta\]
| Step | Result |
|---|---|
| Decomposition | $\vec b=\vec b_\parallel+\vec h$, $\vec b_\parallel=(\vec a\cdot\vec b)\dfrac{\vec a_0}{|\vec a|}$ |
| Perpendicularity | $\vec h\cdot\vec a=0$ $\checkmark$ |
| Height | $|\vec h|=|\vec b|\sin\theta$ |
| Area | $S=|\vec a||\vec b|\sin\theta$ |
Result
\[\boxed{\,\vec h=\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\frac{\vec a_0}{|\vec a|}=\vec b-\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|^2}\vec a,\quad \vec h\cdot\vec a=0,\quad |\vec h|=|\vec b|\sin\theta\,}\]